3. Вычислите: a) \( \frac{5^8 \cdot 5^7}{5^{12}} \) б) \( \frac{2^5 \cdot 8}{4^3} \)

Решение:

1. а) Используем свойства степеней (при умножении степени с одинаковым основанием складываются, при делении вычитаются):
   \( \frac{5^8 \cdot 5^7}{5^{12}} = \frac{5^{8+7}}{5^{12}} = \frac{5^{15}}{5^{12}} = 5^{15-12} = 5^3 \).
   Вычислим значение: \( 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \).
2. б) Представим числа 8 и 4 как степени двойки: \( 8 = 2^3 \) и \( 4 = 2^2 \).
   \( \frac{2^5 \cdot 8}{4^3} = \frac{2^5 \cdot 2^3}{(2^2)^3} = \frac{2^{5+3}}{2^{2 \cdot 3}} = \frac{2^8}{2^6} = 2^{8-6} = 2^2 \).
   Вычислим значение: \( 2^2 = 4 \).

Ответ: а) \( 125 \), б) \( 4 \).