3. Вычислите предел функции: \(\lim_{x\to\infty} \frac{x^3+x-3}{4x^3-8}\)

Решение:

Вычислим предел функции:

\[ \lim_{x\to\infty} \frac{x^3+x-3}{4x^3-8} \]

Чтобы найти предел при \( x \to \infty \), разделим числитель и знаменатель на старшую степень \( x \), то есть на \( x^3 \):

\[ \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{x^3}{x^3}+\frac{x}{x^3}-\frac{3}{x^3}}{\frac{4x^3}{x^3}-\frac{8}{x^3}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1+\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x^3}}{4-\frac{8}{x^3}} \]

При \( x \to \infty \), выражения \( \frac{1}{x^2} \), \( \frac{3}{x^3} \) и \( \frac{8}{x^3} \) стремятся к нулю.

Таким образом, предел равен:

\[ \frac{1+0-0}{4-0} = \frac{1}{4} \]

Ответ: \( \frac{1}{4} \).