Для уравнения x² - 4x + b = 0 разность квадратов корней равна 8. Найдите значение b.

Решение:

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни квадратного уравнения \( x^2 - 4x + b = 0 \).

По теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 = -(-4) = 4 \]

\[ x_1 x_2 = b \]

По условию задачи, разность квадратов корней равна 8:

\[ x_1^2 - x_2^2 = 8 \]

Разложим левую часть как разность квадратов:

\[ (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 8 \]

Подставим известное значение \( x_1 + x_2 = 4 \):

\[ (x_1 - x_2) · 4 = 8 \]

Отсюда найдем разность корней:

\[ x_1 - x_2 = \frac{8}{4} = 2 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений относительно \( x_1 \) и \( x_2 \):

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 4 \\ x_1 - x_2 = 2 \end{cases} \]

Сложим эти два уравнения:

\[ (x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 4 + 2 \]

\[ 2x_1 = 6 \]

\[ x_1 = 3 \]

Подставим \( x_1 = 3 \) в первое уравнение \( x_1 + x_2 = 4 \):

\[ 3 + x_2 = 4 \]

\[ x_2 = 1 \]

Мы нашли корни: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = 1 \).

Теперь найдем значение \( b \) используя соотношение \( x_1 x_2 = b \):

\[ b = x_1 x_2 = 3 · 1 = 3 \]

Ответ: b = 3.