3. Выполнить действия ($a>0, b>0$): 1) $a^3+\sqrt3\cdot\left(\frac{1}{a^{\sqrt3-1}}\right)^{\sqrt3+1}$; 2) $\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Выполнить действия ($a>0, b>0$): 1) $a^3+\sqrt3\cdot\left(\frac{1}{a^{\sqrt3-1}}\right)^{\sqrt3+1}$; 2)…$ Фото задания

3. Выполнить действия ($a>0, b>0$): 1) $a^3+\sqrt3\cdot\left(\frac{1}{a^{\sqrt3-1}}\right)^{\sqrt3+1}$; 2) $\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$.

Accepted Answer

1) Применяем правило степени степени:

\[a^3+\sqrt3\cdot\left(a^{-(\sqrt3-1)}\right)^{\sqrt3+1}=a^3+\sqrt3\cdot a^{-(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}.\]

Так как $(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=3-1=2$, получаем $a^3+\sqrt3\cdot a^{-2}=a^3+\frac{\sqrt3}{a^2}$.

2) Обозначим $x=\sqrt[3]{a}$, $y=\sqrt[3]{b}$. Тогда $\sqrt[3]{ab}=xy$, и выражение принимает вид:

\[\frac{x+xy}{x-y}=\frac{x(1+y)}{x-y}.\]

Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем $\frac{\sqrt[3]{a}(1+\sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$. Исходное выражение определено при $a\ne b$.

Ответ: 1) $a^3+\frac{\sqrt3}{a^2}$; 2) $\frac{\sqrt[3]{a}(1+\sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$, где $a\ne b$.

3. Выполнить действия (\(a>0, b>0\)): 1) \(a^3+\sqrt3\cdot\left(\frac{1}{a^{\sqrt3-1}}\right)^{\sqrt3+1}\); 2) \(\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}\).

Ответ: