3. Выполните действия: а) $\frac{1}{x^2-xy}-\frac{1}{xy-y^2}$; б) $\frac{x^2-2x}{x-3}+\frac{4x-9}{3-x}$; в) $\frac{3}{a-3}+\frac{a+15}{9-a^2}-\frac{2}{a}$; г) $\left(x-\frac{5x-16}{x-3}\right):\left(3x-\frac{3x}{x-3}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Выполните действия: а) $\frac{1}{x^2-xy}-\frac{1}{xy-y^2}$; б) $\frac{x^2-2x}{x-3}+\frac{4x-9}{3-x}$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Разложим знаменатели на множители: $x^2-xy=x(x-y)$, $xy-y^2=y(x-y)$. Тогда
$\frac{1}{x(x-y)}-\frac{1}{y(x-y)}=\frac{y-x}{xy(x-y)}=-\frac{1}{xy}$.
Ограничения: $x\ne0$, $y\ne0$, $x\ne y$.
б) Так как $3-x=-(x-3)$, получаем
$\frac{x^2-2x}{x-3}-\frac{4x-9}{x-3}=\frac{x^2-6x+9}{x-3}=\frac{(x-3)^2}{x-3}=x-3$, где $x\ne3$.
в) Учитываем, что $9-a^2=-(a-3)(a+3)$. Приводим к общему знаменателю:
$\frac{3}{a-3}+\frac{a+15}{9-a^2}-\frac{2}{a}=\frac{3a(a+3)-a(a+15)-2(a^2-9)}{a(a-3)(a+3)}$.
Числитель равен $-6a+18=-6(a-3)$, поэтому результат $-\frac{6}{a(a+3)}$. Ограничения: $a\ne0,3,-3$.
г) Упростим каждую скобку:
$x-\frac{5x-16}{x-3}=\frac{x(x-3)-(5x-16)}{x-3}=\frac{(x-4)^2}{x-3}$;
$3x-\frac{3x}{x-3}=\frac{3x(x-3)-3x}{x-3}=\frac{3x(x-4)}{x-3}$.
Делим первую скобку на вторую: $\frac{(x-4)^2}{x-3}\cdot\frac{x-3}{3x(x-4)}=\frac{x-4}{3x}$. Исходное выражение определено при $x\ne3$, а делитель не равен нулю при $x\ne0,4$.

Ответ: а) $-\frac{1}{xy}$; б) $x-3$; в) $-\frac{6}{a(a+3)}$; г) $\frac{x-4}{3x}$. Ограничения указаны в решении.

3. Выполните действия: а) \(\frac{1}{x^2-xy}-\frac{1}{xy-y^2}\); б) \(\frac{x^2-2x}{x-3}+\frac{4x-9}{3-x}\); в) \(\frac{3}{a-3}+\frac{a+15}{9-a^2}-\frac{2}{a}\); г) \(\left(x-\frac{5x-16}{x-3}\right):\left(3x-\frac{3x}{x-3}\right)\).