3. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 8 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу — 6 см. Найдите площадь треугольника.

Обозначим проекции катетов на гипотенузу через \(p\) и \(q\). Для высоты к гипотенузе выполняется \(h^2=pq\). При \(h=8\) см и \(p=6\) см получаем:

\(q=\frac{h^2}{p}=\frac{64}{6}=\frac{32}{3}\text{ см}\).

Гипотенуза равна сумме проекций: \(c=p+q=6+\frac{32}{3}=\frac{50}{3}\text{ см}\).

Площадь треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту к ней:

\(S=\frac12ch=\frac12\cdot\frac{50}{3}\cdot8=\frac{200}{3}\text{ см}^2\).

Ответ: \(\frac{200}{3}\text{ см}^2\).