4. Высота BD треугольника ABC делит его сторону AC на отрезки AD и CD. Найдите площадь треугольника ABC, если BC = √37 см, ∠A = 30°, CD = 5 см.

В прямоугольном треугольнике BCD гипотенуза \(BC=\sqrt{37}\) см, а катет \(CD=5\) см. По теореме Пифагора:

\(BD^2=BC^2-CD^2=37-25=12\), значит, \(BD=2\sqrt3\text{ см}\).

Так как \(BD\perp AC\), треугольник ABD прямоугольный. Из \(\angle A=30^\circ\):

\(\tan30^\circ=\frac{BD}{AD}\), поэтому \(AD=\frac{BD}{\tan30^\circ}=\frac{2\sqrt3}{1/\sqrt3}=6\text{ см}\).

Тогда \(AC=AD+CD=6+5=11\text{ см}\), и площадь:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BD=\frac12\cdot11\cdot2\sqrt3=11\sqrt3\text{ см}^2\).

Ответ: \(11\sqrt3\text{ см}^2\).