3. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 8 и 17. Найдите длину основания BC.

Решение:

Пусть CH — высота, опущенная из вершины C на основание AD. Так как трапеция равнобедренная, то основания BC и AD параллельны, а боковые стороны AB и CD равны. Высота, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки AH и HD. В равнобедренной трапеции отрезок AH равен полуразности оснований, а отрезок HD равен полусумме оснований, если высота опущена из вершины тупого угла, или отрезок AH равен полусумме, а HD — полуразности, если из вершины острого угла. В данном случае, из рисунка видно, что высота опущена из вершины C, и основание AD делится на отрезки AH = 8 и HD = 17. Тогда длина основания AD = AH + HD = 8 + 17 = 25.

В прямоугольном треугольнике CHD, CH = BC (так как BC параллельно AD и CD - наклонная, проведённая из С, а CD - боковая сторона), HD = 17.

По свойству равнобедренной трапеции, отрезок, отсекаемый высотой от большего основания, равен полусумме оснований. Если обозначить BC = x, то AD = 25. Тогда HD = (AD - BC) / 2. Однако, из рисунка ясно, что высота опущена из вершины C, и основание AD делится на отрезки 8 и 17. Если предположить, что точка H лежит между A и D, то AD = 25. Поскольку трапеция равнобедренная, то отрезок, отсекаемый высотой от большего основания (AD), будет равен полуразности оснований. Из рисунка видно, что CDEF - прямоугольник, где E - проекция B, F - проекция C. Тогда AD = AF + FE + ED. Если CH - высота, то H лежит на AD. В равнобедренной трапеции AH = (AD - BC) / 2. Если 8 и 17 - это отрезки, на которые делится основание AD, то AD = 8 + 17 = 25. В равнобедренной трапеции CH = BF, AH = (AD - BC) / 2, HD = (AD + BC) / 2. Если BC = x, то 17 = (25 + x) / 2. 34 = 25 + x. x = 9.

Второй вариант: если 8 и 17 - это отрезки, то 17 - это большая часть, а 8 - меньшая. Тогда AD = 25. Отрезок HD = (AD + BC) / 2. Если BC = x, то 17 = (25 + x) / 2. 34 = 25 + x. x = 9.

Или, если 8 - это отрезок, прилежащий к основанию BC (то есть, если начертить высоту из B, то отрезок от A до проекции B будет 8), то AD = 25. Тогда AH = 8. BC = AD - 2 * AH = 25 - 2 * 8 = 25 - 16 = 9.

Ответ: 9