3. Высоты остроугольного треугольника NPT, проведенные из вершин N и P, пересекаются в точке K, ∠T=48°. Найдите угол NKP.

Краткое пояснение:

В треугольнике две высоты пересекаются в точке ортоцентра. Рассмотрим треугольник, образованный двумя вершинами и точкой пересечения высот. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим точки пересечения высот. Пусть высота из вершины N пересекает сторону PT в точке A, а высота из вершины P пересекает сторону NT в точке B. Таким образом, NA ⊥ PT и PB ⊥ NT.
2. Шаг 2: Точка K является ортоцентром треугольника NPT.
3. Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник PBT. Угол ∠PTN = ∠T = 48°. Угол ∠PBT = 90° (так как PB - высота). Сумма углов в треугольнике PBT равна 180°, следовательно, ∠BPT = 180° - 90° - 48° = 42°.
4. Шаг 4: Теперь рассмотрим треугольник KPT. Угол ∠KTP = ∠T = 48°. Угол ∠KPT = ∠BPT = 42°.
5. Шаг 5: Сумма углов в треугольнике KPT равна 180°. Угол ∠NKP является внешним углом треугольника KPT, смежным с углом ∠NKT. Либо, можно найти ∠NKT и затем ∠NKP.
6. Шаг 6: Угол ∠NKP является углом, смежным с углом ∠NKT. Найдем ∠NKT. В треугольнике NKT, ∠KNT + ∠NTK + ∠NKT = 180.
7. Шаг 7: Рассмотрим треугольник PKA. Угол ∠KAP = 90°. Угол ∠KPA = 42°. Угол ∠AKP = 180 - 90 - 42 = 48°.
8. Шаг 8: Углы ∠AKP и ∠NKP являются вертикальными углами, следовательно, они равны.
9. Шаг 9: Другой подход: Угол ∠NKP является углом, смежным с углом ∠NKT. Угол ∠NKT является углом в треугольнике NKT.
10. Шаг 10: Рассмотрим треугольник NKA. ∠KAN = 90°. ∠AKN + ∠ANK + ∠NAK = 180°.
11. Шаг 11: В треугольнике NTK, ∠T = 48°. Угол ∠PNK = 90° - 48° = 42°.
12. Шаг 12: В треугольнике NPK, ∠N = 42°, ∠P = 42°.
13. Шаг 13: Сумма углов в треугольнике NPK: ∠NKP + ∠NPK + ∠PNK = 180°.
14. Шаг 14: ∠NKP + 42° + 42° = 180°.
15. Шаг 15: ∠NKP + 84° = 180°.
16. Шаг 16: ∠NKP = 180° - 84° = 96°.

Ответ: Угол NKP равен 96°.