3) x⁴ = (x-20)²

Привет! Давай решим это интересное уравнение.

1. Извлечем квадратный корень из обеих частей:

Когда мы извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения, где одна сторона — это степень, нужно помнить, что результат может быть как положительным, так и отрицательным.

\[ \sqrt{x^4} = \sqrt{(x-20)^2} \]

\[ |x^2| = |x-20| \]

Так как $$x^2$$ всегда неотрицательно, $$|x^2| = x^2$$. Значит:

\[ x^2 = |x-20| \]

2. Раскроем модуль:

Теперь у нас есть два случая, потому что выражение под модулем $$(x-20)$$ может быть положительным или отрицательным.

Случай 1: $$(x-20) \ge 0$$, то есть $$x \ge 20$$.

В этом случае $$|x-20| = x-20$$. Уравнение выглядит так:

\[ x^2 = x - 20 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ x^2 - x + 20 = 0 \]

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(20) = 1 - 80 = -79$$.

Так как дискриминант отрицательный ($$D < 0$$), действительных корней в этом случае нет.

Случай 2: $$(x-20) < 0$$, то есть $$x < 20$$.

В этом случае $$|x-20| = -(x-20) = -x + 20$$. Уравнение выглядит так:

\[ x^2 = -x + 20 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ x^2 + x - 20 = 0 \]

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81$$.

Найдем корни:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{-1 \pm 9}{2} \]

Получаем два корня:

• $$x_1 = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$$. Этот корень удовлетворяет условию $$x < 20$$.
• $$x_2 = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$. Этот корень также удовлетворяет условию $$x < 20$$.

3. Проверим корни:

Подставим найденные корни в исходное уравнение $$x^4 = (x-20)^2$$:

• Для $$x = 4$$: $$4^4 = 256$$. $$(4-20)^2 = (-16)^2 = 256$$. Равно.
• Для $$x = -5$$: $$(-5)^4 = 625$$. $$(-5-20)^2 = (-25)^2 = 625$$. Равно.

Ответ: $$x = 4, x = -5$$.