Слово «прямо» здесь используется как наречие, указывающее на степень интенсивности состояния.
В предложении «Я так устал, прямо сил нет!» слово «прямо» указывает на то, насколько сильно устал говорящий. Оно усиливает значение слова «устал» и отвечает на вопрос «как сильно?». Это свойственно наречию.
Ответ: наречие