3. Задача на доказательство. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D пересекаются в точке N, лежащей на стороне BC. Докажите, что N — середина BC.

Обозначим длины сторон параллелограмма: AB = CD = a, AD = BC = b.

1. Так как AN — биссектриса угла DAB, то ∠DAN = ∠NAB. Поскольку AD ∥ BC, а N лежит на BC, получаем ∠DAN = ∠ANB.
2. Следовательно, ∠NAB = ∠ANB, поэтому треугольник ABN равнобедренный и BN = AB = a.
3. Так как DN — биссектриса угла ADC, то ∠ADN = ∠NDC. Из AD ∥ BC следует ∠ADN = ∠DNB. Кроме того, DC ∥ AB, поэтому ∠NDC = ∠BND.
4. Значит, ∠DNB = ∠BND; в треугольнике DNB равны углы при вершинах N и B, откуда DN = DB. Для доказательства середины достаточно использовать также, что N лежит на BC и BN = AB: поскольку DN биссектриса угла D, равенство углов в треугольнике DCN даёт NC = CD = AB.

Таким образом, BN = NC, значит, N — середина BC.

Что и требовалось доказать.