3. Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 1130. Найдите задуманное число, если известно, что вторая из его цифр на 2 больше первой.

Решение:

Обозначим двузначное число как 10a + b, где 'a' - первая цифра, а 'b' - вторая цифра.

По условию, вторая цифра на 2 больше первой: b = a + 2.

Число, полученное при перестановке цифр, будет 10b + a.

Сумма квадратов этих чисел равна 1130:

• (10a + b)² + (10b + a)² = 1130

Подставим b = a + 2:

• (10a + (a + 2))² + (10(a + 2) + a)² = 1130
• (11a + 2)² + (10a + 20 + a)² = 1130
• (11a + 2)² + (11a + 20)² = 1130

Раскроем скобки:

• (121a² + 44a + 4) + (121a² + 440a + 400) = 1130
• 242a² + 484a + 404 = 1130
• 242a² + 484a + 404 - 1130 = 0
• 242a² + 484a - 726 = 0

Разделим всё на 242:

• a² + 2a - 3 = 0

Решим квадратное уравнение:

• (a + 3)(a - 1) = 0

Возможные значения 'a': a = -3 или a = 1.

Так как 'a' - цифра двузначного числа, оно должно быть положительным. Следовательно, a = 1.

Найдем 'b':

• b = a + 2 = 1 + 2 = 3

Итак, задуманное число 10a + b = 10(1) + 3 = 13.

Проверим:

• Число 13. Перестановка цифр: 31.
• 13² + 31² = 169 + 961 = 1130. Условие выполнено.

Ответ: 13