10. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. Обозначим основания трапеции как \( a = 9 \) (большее) и \( b = 3 \) (меньшее). Угол при основании \( \alpha = 45^{\circ} \).
2. Площадь трапеции вычисляется по формуле \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( h \) — высота трапеции.
3. Опустим высоты из концов меньшего основания на большее. Получится прямоугольник и два прямоугольных треугольника.
4. В каждом прямоугольном треугольнике угол при основании равен \( 45^{\circ} \), а другой острый угол равен \( 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Это означает, что треугольники равнобедренные.
5. Следовательно, высота \( h \) равна отрезку, отсекаемому от большего основания.
6. Длина большего основания \( a = 9 \). Меньшее основание \( b = 3 \). Отрезки по бокам от меньшего основания равны: \( \frac{a-b}{2} = \frac{9-3}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).
7. Таким образом, высота \( h = 3 \).
8. Теперь вычислим площадь:
9. \[ S = \frac{9+3}{2} \cdot 3 = \frac{12}{2} \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18 \]

Ответ: 18