304. В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы равных углов B и C пересекаются в точке O. Докажите, что угол BOC равен внешнему углу треугольника при вершине B.

Дано:

• \[ \triangle ABC \text{ - равнобедренный} \]
• \[ AB = AC \]
• \[ ∠B = ∠C \]
• \[ BO \text{ - биссектриса} ∠B \]
• \[ CO \text{ - биссектриса} ∠C \]
• \[ BO \text{ и } CO \text{ пересекаются в точке } O \]

Доказать:

• \[ ∠BOC = ∠B_{→​→​→​→​→​→​} \] (где ∠B_{→​→​→​→​→​→​} - внешний угол при вершине B)

Доказательство:

1. Так как ∆ABC - равнобедренный с AB=AC, то ∠B = ∠C.
2. Так как BO и CO - биссектрисы, то ∠OBC = ∠B/2 и ∠OCB = ∠C/2.
3. Следовательно, ∠OBC = ∠OCB. Это значит, что ∆BOC - равнобедренный треугольник с OB = OC.
4. В ∆BOC: ∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - (∠B/2 + ∠C/2).
5. Поскольку ∠B = ∠C, то ∠BOC = 180° - (∠B/2 + ∠B/2) = 180° - ∠B.
6. Внешний угол при вершине B равен 180° - ∠B (так как он смежный с углом ∠B).
7. Таким образом, ∠BOC = 180° - ∠B, что и требовалось доказать.