306. На рисунке 151 AD || BE, AC = AD и BC = BE. Докажите, что угол DCE — прямой.

Дано:

• \[ AD Ⅰ BE \]
• \[ AC = AD \]
• \[ BC = BE \]

Доказать:

• \[ ∠DCE = 90° \]

Доказательство:

1. Рассмотрим ∆ADC. Так как AC = AD, то ∆ADC - равнобедренный. Следовательно, ∠ACD = ∠ADC.
2. Рассмотрим ∆BEC. Так как BC = BE, то ∆BEC - равнобедренный. Следовательно, ∠BCE = ∠BEC.
3. Так как AD || BE, то ∠ADC = ∠CEB (как накрест лежащие углы при секущей CE).
4. Из равенства ∠ADC = ∠CEB следует, что ∠ACD = ∠BCE.
5. ∠ACB - развернутый угол (180°), поскольку он является суммой углов ∆ADC, ∆DCE, ∆CEB.
6. ∠ACB = ∠ACD + ∠DCE + ∠BCE.
7. Так как ∠ACD = ∠BCE, то ∠ACB = 2∠ACD + ∠DCE.
8. Но ∠ACB - это сумма углов треугольника, т.е. ∠ACB = 180°.
9. 180° = 2∠ACD + ∠DCE.
10. Учитывая, что ∠ACD + ∠DCE + ∠BCE = 180°, и ∠ACD = ∠BCE, мы можем подставить: ∠ACD + ∠DCE + ∠ACD = 180°.
11. 2∠ACD + ∠DCE = 180°.
12. Это равенство выполняется, если ∠ACD = ∠BCE = 45° и ∠DCE = 90°.
13. Таким образом, ∠DCE - прямой угол.