305. На стороне AD треугольника ADC отмечена точка B так, что BC = BD. Докажите, что прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC.

Дано:

• \[ ∆ADC \]
• \[ B \text{ - точка на } AD \]
• \[ BC = BD \]
• \[ BL \text{ - биссектриса } ∠ABC \]

Доказать:

• \[ DC Ⅰ BL \]

Доказательство:

1. Так как ∆BCD - равнобедренный (∆BC = ∆BD), то углы при основании равны: ∠BCD = ∠BDC.
2. ∠BDC является также углом ∆ADC.
3. ∠ABC - внешний угол для ∆BCD. Следовательно, ∠ABC = ∠BCD + ∠BDC.
4. Так как ∠BCD = ∠BDC, то ∠ABC = 2 ∠BDC.
5. BL - биссектриса ∠ABC, значит ∠ABL = ∠LBC = ∠ABC/2.
6. ∠LBC = (2 ∠BDC)/2 = ∠BDC.
7. Мы получили, что ∠LBC = ∠BDC. Эти углы являются накрест лежащими при прямых DC и BL и секущей AD.
8. Так как накрест лежащие углы равны, то DC || BL. Что и требовалось доказать.