307. На рисунке 152 AB = AC, AP = PQ = QR = RB = BC. Найдите угол А.

Дано:

• \[ AB = AC \]
• \[ AP = PQ = QR = RB = BC \]

Найти:

• \[ ∠A \]

Решение:

Обозначим ∠A = x.

1. ∆ABC - равнобедренный (AB = AC), значит ∠ABC = ∠ACB = (180° - x)/2 = 90° - x/2.
2. ∆PBC - равнобедренный (RB = BC, так как RB = BC и PQ = QR = RB, а P, Q, R - точки на AB, BC - хорда).
3. ∠PRC = ∠PCR = (180° - (90° - x/2))/2 = (90° + x/2)/2 = 45° + x/4.
4. ∠ACB = ∠QCR + ∠RCQ.
5. ∠RCQ = ∠ACB - ∠RCQ = (90° - x/2) - (45° + x/4) = 45° - 3x/4.
6. ∆PQC - равнобедренный (PQ = QR). ∠QPC = ∠QCP = 45° - 3x/4.
7. ∆APQ - равнобедренный (AP = PQ). ∠PAQ = ∠PQA = x.
8. ∠APQ = 180° - 2x.
9. ∠CPQ = ∠APQ - ∠APC = (180° - 2x) - (45° + x/4) = 135° - 9x/4.
10. ∆ABC = ∠ABP + ∠PBC.
11. ∠ABP = 90° - x/2.
12. ∆PBC - равнобедренный (PB = BC). ∠BPC = ∠BCP = (180° - (90° - x/2))/2 = 45° + x/4.
13. ∠BPC = ∠BPQ + ∠CPQ.
14. 45° + x/4 = (180° - 2x) + (135° - 9x/4).
15. 45° + x/4 = 315° - 17x/4.
16. 18x/4 = 270°.
17. x = 270° * 4 / 18 = 60°.

Ответ: 60°