31.23. Докажите тождество: 1) ((a−2b)/(a²+2ab) − 1/(a²−4b²) : (a+2b)/(2b−a)²) : ((a²−2ab)/(a²+4ab+4b²)) = 2b/a²; 2) (2a/(a+3) − 4a/(a²+6a+9)) · ((a²−9)/(a+1)) − (a²−9a)/(a+3) = a.

1) Учитываем ограничения: \(a\ne0\), \(a\ne2b\), \(a\ne-2b\).

Разложим многочлены на множители:

\[a^2+2ab=a(a+2b),\quad a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b),\]

\[(2b-a)^2=(a-2b)^2,\quad a^2-2ab=a(a-2b),\quad a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2.\]

Тогда выражение в первых скобках равно:

\[\frac{a-2b}{a(a+2b)}-\frac{1}{(a-2b)(a+2b)}:\frac{a+2b}{(a-2b)^2}.\]

Выполним деление дробей:

\[\frac{1}{(a-2b)(a+2b)}:\frac{a+2b}{(a-2b)^2}=\frac{a-2b}{(a+2b)^2}.\]

Следовательно,

\[\frac{a-2b}{a(a+2b)}-\frac{a-2b}{(a+2b)^2}=\frac{2b(a-2b)}{a(a+2b)^2}.\]

Делим на вторую дробь:

\[\frac{2b(a-2b)}{a(a+2b)^2}:\frac{a(a-2b)}{(a+2b)^2}=\frac{2b}{a^2}.\]

Тождество доказано.

2) Ограничения: \(a\ne-3\), \(a\ne-1\).

Разложим на множители и преобразуем скобки:

\[\frac{2a}{a+3}-\frac{4a}{(a+3)^2}=\frac{2a(a+3)-4a}{(a+3)^2}=\frac{2a(a+1)}{(a+3)^2}.\]

Кроме того, \(a^2-9=(a-3)(a+3)\), поэтому:

\[\frac{2a(a+1)}{(a+3)^2}\cdot\frac{(a-3)(a+3)}{a+1}=\frac{2a(a-3)}{a+3}.\]

Вычтем вторую дробь:

\[\frac{2a(a-3)}{a+3}-\frac{a(a-9)}{a+3}=\frac{2a^2-6a-a^2+9a}{a+3}=\frac{a^2+3a}{a+3}=a.\]

Тождество доказано.