31. а) M(15π/4); б) M(23π/6); в) M(13π/4); г) M(16π/3).

Сокращаем углы по модулю \(2\pi\), затем берём косинус и синус полученного угла.

1. а) \(\frac{15\pi}{4}\equiv\frac{7\pi}{4}\), поэтому \(M\left(\frac{15\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
2. б) \(\frac{23\pi}{6}\equiv\frac{11\pi}{6}\), поэтому \(M\left(\frac{23\pi}{6}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)\).
3. в) \(\frac{13\pi}{4}\equiv\frac{5\pi}{4}\), поэтому \(M\left(\frac{13\pi}{4}\right)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
4. г) \(\frac{16\pi}{3}\equiv\frac{4\pi}{3}\), поэтому \(M\left(\frac{16\pi}{3}\right)=\left(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).

Ответ: а) \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\); б) \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)\); в) \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\); г) \(\left(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).