31. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку A, пересекают плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную α и не проходящую через точку A, тоже в вершинах параллелограмма (рис. 38).

Обозначим вершины параллелограмма в плоскости α через B, C, D, E. Пусть те же четыре прямые пересекают параллельную плоскость β в точках B₁, C₁, D₁, E₁ соответственно.

1. Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые AB и AC. Она пересекает плоскости α и β по прямым BC и B₁C₁. Поэтому BC ∥ B₁C₁.
2. Аналогично получаем DE ∥ D₁E₁. Так как BC ∥ DE, то B₁C₁ ∥ D₁E₁.
3. Рассматривая плоскости, проходящие через пары прямых AB, AE и AC, AD, получаем BE ∥ B₁E₁ и CD ∥ C₁D₁.
4. Так как BE ∥ CD, то B₁E₁ ∥ C₁D₁.

Таким образом, в четырёхугольнике B₁C₁D₁E₁ обе пары противоположных сторон параллельны. Следовательно, он является параллелограммом.

Ответ: четыре прямые пересекают плоскость β в вершинах параллелограмма.