31. По горизонтально расположенным проводящим шероховатым рельсам с пренебрежимо малым сопротивлением могут скользить два одинаковых стержня массой m = 50 г и сопротивлением R = 0,3 Ом каждый. Расстояние между рельсами l = 15 см, а коэффициент трения между стержнями и рельсами μ = 0,15. Рельсы со стержнями находятся в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией B = 1 Тл (см. рисунок). Под действием горизонтальной силы, действующей на первый стержень вдоль рельс, оба стержня движутся поступательно равномерно с разными скоростями. Какова скорость движения первого стержня относительно второго? Самоиндукцией контура пренебречь.

При равномерном движении второй стержень также движется равномерно, поэтому сила Ампера, действующая на него, уравновешивает силу трения. ЭДС индукции в контуре определяется разностью скоростей стержней.

1. Обозначим модуль относительной скорости через \(v_{\text{отн}}\). ЭДС контура: \(\mathcal{E}=B l v_{\text{отн}}\).
2. Сопротивление контура складывается из сопротивлений двух стержней: \(R_{\text{конт}}=2R\). Следовательно, \(I=\frac{B l v_{\text{отн}}}{2R}\).
3. Сила Ампера на втором стержне равна силе трения: \(BIl=\mu mg\). Подставляя выражение для тока, получаем \(\frac{B^2l^2v_{\text{отн}}}{2R}=\mu mg\).
4. Отсюда \(v_{\text{отн}}=\frac{2R\mu mg}{B^2l^2}=\frac{2\cdot0.3\cdot0.15\cdot0.05\cdot9.8}{1^2\cdot0.15^2}\approx1.96\) м/с.

Ответ: скорость первого стержня относительно второго приблизительно равна 2,0 м/с.