31. Представьте в виде дроби выражение \(\left(\frac{1}{b^{-3}}+\frac{1}{c^{-3}}\right)(b+c)^{-1}\) и найдите его значение при \(b=\frac12\), \(c=-\frac13\).

Так как \(\frac{1}{b^{-3}}=b^3\), \(\frac{1}{c^{-3}}=c^3\), а \((b+c)^{-1}=\frac{1}{b+c}\), получаем: \[\left(b^3+c^3\right)\frac{1}{b+c}=\frac{b^3+c^3}{b+c}.\] Используем формулу суммы кубов: \[\frac{b^3+c^3}{b+c}=b^2-bc+c^2.\]

При \(b=\frac12\), \(c=-\frac13\): \[b^2-bc+c^2=\frac14-\left(-\frac16\right)+\frac19=\frac14+\frac16+\frac19=\frac{19}{36}.\]

Ответ: \(\frac{b^3+c^3}{b+c}\); значение \(\frac{19}{36}\).