31. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60°.

Пусть диагонали основания равны 4 см и \(d\). Для параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон:

\(4^2+d^2=2(3^2+5^2)=68\), поэтому \(d^2=52\).

Меньшая диагональ основания равна 4 см. Проекция меньшей диагонали параллелепипеда на плоскость основания — эта диагональ основания. Если высота параллелепипеда равна \(h\), то \(\tan 60^\circ=h/4\), откуда \(h=4\sqrt3\) см.

Большая диагональ параллелепипеда имеет проекцию, равную большей диагонали основания:

\(D=\sqrt{52+(4\sqrt3)^2}=\sqrt{100}=10\) см.

Ответ: 10 см.