31. Высота, проведённая из вершины тупого угла ромба, делит противоположную сторону пополам. Найдите меньшую диагональ ромба, если его периметр равен 20 см.

Сторона ромба равна 20 : 4 = 5 см. Пусть высота опущена из вершины A на противоположную сторону CD и попадает в её середину. В прямоугольных треугольниках с гипотенузами AD и AC горизонтальные проекции равны половинам CD; из условия следует, что угол при вершине A равен 120°, а острый угол ромба — 60°.

Диагональ, соединяющая вершины острых углов, равна стороне ромба: она является основанием равностороннего треугольника со стороной 5 см. Вторая диагональ длиннее.

Ответ: 5 см.