311 Докажите свойство отклонений от среднего арифметического. Пусть дан набор чисел Х1, Х2, Х3, ..., Хn, и их среднее арифметическое равно х. Покажите, что сумма всех отклонений равна нулю: (x1-x) + (x2-x)+(x3 - x) + ... + (x – x) = 0.

Доказательство:

Пусть дан набор чисел \( x_1, x_2, x_3, …, x_n \). Среднее арифметическое этого набора равно \( \bar{x} \).

По определению среднего арифметического:

\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n}{n} \]

Умножим обе части равенства на \( n \):

\[ n \bar{x} = x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n \]

Теперь рассмотрим сумму отклонений чисел набора от их среднего арифметического:

\[ (x_1 - \bar{x}) + (x_2 - \bar{x}) + (x_3 - \bar{x}) + … + (x_n - \bar{x}) \]

Раскроем скобки:

\[ x_1 - \bar{x} + x_2 - \bar{x} + x_3 - \bar{x} + … + x_n - \bar{x} \]

Сгруппируем слагаемые:

\[ (x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n) - (\bar{x} + \bar{x} + \bar{x} + … + \bar{x}) \]

Сумма \( n \) слагаемых \( \bar{x} \) равна \( n\bar{x} \). Также мы знаем, что \( x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n = n\bar{x} \).

Подставим это в наше выражение:

\[ n\bar{x} - n\bar{x} = 0 \]

Таким образом, сумма всех отклонений чисел от их среднего арифметического равна нулю.

Что и требовалось доказать.