315. Найдите натуральные значения n, при которых значение выражения √(n² + 39) является двузначным числом.

Обозначим значение выражения через двузначное натуральное число \(m\). Тогда \(m^2=n^2+39\), то есть \((m-n)(m+n)=39\).

1. Разложим 39 на пары положительных множителей: \(1\cdot39\) и \(3\cdot13\).
2. Для пары 1 и 39 получаем \(m=\frac{1+39}{2}=20\), \(n=\frac{39-1}{2}=19\).
3. Для пары 3 и 13 получаем \(m=8\), что не является двузначным числом.

Проверка: \(\sqrt{19^2+39}=\sqrt{400}=20\).

Ответ: \(n=19\).