§32. Докажите неравенство: а) (3x − 1)(2x − 2) > x(6x − 8); б) (3b − 4)(2b + 8) < (6b − 2)(b + 3); в) 3a(a − 1) − 5a² < 4 − 3a; г) (2c − 6)(c − 1) > c(c − 8).

а) Раскроем скобки и сравним части:

\((3x-1)(2x-2)=6x^2-8x+2\), а \(x(6x-8)=6x^2-8x\). Следовательно, неравенство равносильно \(6x^2-8x+2>6x^2-8x\), то есть \(2>0\). Оно верно при любом x.

б) Раскроем скобки:

\((3b-4)(2b+8)=6b^2+16b-32\), \((6b-2)(b+3)=6b^2+16b-6\). После сокращения одинаковых слагаемых получаем \(-32<-6\), что верно.

в) Преобразуем левую часть: \(3a(a-1)-5a^2=-2a^2-3a\). Неравенство равносильно \(-2a^2-3a<4-3a\), или \(-2a^2<4\). Поскольку \(-2a^2\le 0<4\), оно верно.

г) Раскроем скобки и сократим общие слагаемые:

\((2c-6)(c-1)=2c^2-8c+6\), \(c(c-8)=c^2-8c\). Получаем \(c^2+6>0\), что верно при любом c.