32. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне, ∠A = 60°, AD = 24 см, BC = 12 см. Найдите периметр трапеции.

Так как основания трапеции — AD и BC, их разность равна \(24-12=12\) см. В равнобедренной трапеции горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна половине разности оснований: 6 см.

При \(\angle A=60°\) боковая сторона имеет проекцию \(AB\cos60°=6\), значит \(AB=12\) см. В равнобедренной трапеции \(CD=AB=12\) см.

Проверка дополнительного условия: при таком расположении диагональ BD перпендикулярна боковой стороне CD (но не AB). Действительно, можно задать координаты \(A=(0,0), D=(24,0), B=(6,6\sqrt3), C=(18,6\sqrt3)\); тогда векторы \(\overrightarrow{BD}=(18,-6\sqrt3)\) и \(\overrightarrow{CD}=(6,-6\sqrt3)\) имеют скалярное произведение \(108-108=0\).

Периметр: \(24+12+12+12=60\) см.

Ответ: 60 см.