327 На рисунке 104 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: а) AB + A₁D₁; б) AB + AD1; в) DA + B₁B; г) DD₁ + DB; д) DB₁ + BC.

Решение:

Для решения этой задачи нужно использовать правило сложения векторов по правилу параллелограмма или треугольника, а также свойства параллелепипеда.

• а) AB + A₁D₁: В параллелепипеде векторы A₁D₁ и BC равны. Поэтому AB + A₁D₁ = AB + BC = AC.
• б) AB + AD₁: Вектор AD₁ можно представить как сумму векторов AB₁ (если ABCD - основание, а A₁B₁C₁D₁ - верхнее основание) и AA₁. Если же AD₁ - это вектор, идущий из вершины A в вершину D1, то его нельзя просто так представить как сумму AB и AA1, если ABCD - основание, а A1B1C1D1 - верхнее. Но если рассматривать вектор AD1 как диагональ грани ADD1A1, то AB + AD1 = AC1 (по правилу параллелограмма для параллелепипеда).
• в) DA + B₁B: В параллелепипеде вектор DA противоположен вектору BC, а B₁B равен вектору AA₁. Таким образом, DA + B₁B = DA + AA₁ = DA + DD₁ (если DD1 = AA1) = AA₁. Или, если DA + B1B, то это вектор, начало которого D, конец B1.
• г) DD₁ + DB: Вектор DB является диагональю параллелограмма ABCD. Вектор DD1 является боковым ребром. Сложение этих векторов не приводит к простому вектору, связанному с вершинами, без дополнительных построений или информации о конкретных векторах.
• д) DB₁ + BC: В параллелепипеде DB1 - диагональ. BC - ребро основания. BC = A₁D₁ = B₁C₁ = AD. DB1 + BC. Если применить правило треугольника: начнем с D, конец B1. Потом от B1 вектор BC. Получаем вектор DC1.

Ответ:

• а) AC
• б) AC₁
• в) AB₁ (если BB₁ = AA₁)
• г) D + DB (сложение этих векторов не упрощается до одного вектора, исходящего из вершин параллелепипеда, если не заданы другие условия)
• д) DC₁