330 Нарисуйте параллелепипед ABCDABC₁D₁ и обозначьте векторы CD, BA, AD соответственно через а, б, с. Изобразите на рисунке векторы: а) а-б; б) а-с; в) б-а; г) с-б; д) -a.

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно нарисовать параллелепипед и изобразить заданные векторы. Пусть ABCD - нижнее основание, а A₁B₁C₁D₁ - верхнее.

Обозначения:

• \[ v{CD} = v{a} \]
• \[ v{BA} = v{b} \]
• \[ v{AD} = v{c} \]

Свойства параллелепипеда, которые нам понадобятся:

• Противоположные стороны равны и параллельны.
• \[ v{AB} = v{DC} = v{a} \]
• \[ v{BC} = v{AD} = v{c} \]
• \[ v{BA} = v{CD} = v{a} \] (из условия v{BA} = v{b}, следовательно v{a} = v{b})
• \[ v{A_1D_1} = v{BC} = v{c} \]
• \[ v{D_1C_1} = v{A_1B_1} = v{a} \]
• \[ v{AA_1} = v{BB_1} = v{CC_1} = v{DD_1} \] (обозначим этот вектор v{h})

Важное замечание: из условий v{CD} = v{a} и v{BA} = v{b}, а также того, что BA = -AB и CD = -DC, и в параллелограмме ABCD v{AB} = v{DC}, следует, что v{b} = v{a}. Если v{a} и v{b} - это разные векторы, то условие задачи некорректно. Предположим, что v{a} и v{b} - это обозначения для векторов, и v{CD} = v{a}, а v{BA} = v{b}. В параллелограмме ABCD: v{AB} = v{DC} = -v{CD} = -v{a}. Также v{BC} = v{AD} = v{c}. Вектор v{BA} = -v{AB} = -(-v{a}) = v{a}. Значит, из условия v{BA} = v{b}, следует, что v{a} = v{b}. Это означает, что векторы v{CD} и v{BA} равны. Поэтому, если v{a} и v{b} разные, то задача некорректна. Будем считать, что v{a} и v{b} - это векторы, которые могут быть разными. В таком случае, v{BA} = v{b}, а v{CD} = v{a}. В параллелограмме ABCD, v{AB} = v{DC}. Следовательно, v{BA} = -v{AB} = -v{DC} = -v{a}. Таким образом, v{b} = -v{a}.

С учетом того, что v{b} = -v{a}:

• а) а - б: v{a} - v{b} = v{a} - (-v{a}) = 2v{a}. Это вектор, равный удвоенному вектору CD.
• б) а - с: v{a} - v{c}. Это вектор v{CD} - v{AD}. Если применить правило вычитания векторов (начало должно быть одинаковым), то v{a} - v{c} = v{CD} - v{AD}. Это равносильно v{CD} + (-v{AD}). Вектор -v{AD} = v{DA}. Таким образом, v{CD} + v{DA} = v{CA}.
• в) б - а: v{b} - v{a} = (-v{a}) - v{a} = -2v{a}. Это вектор, равный -2v{a}.
• г) с - б: v{c} - v{b} = v{c} - (-v{a}) = v{c} + v{a}. Это вектор v{AD} + v{CD}. Если применить правило сложения векторов по правилу треугольника, то v{AD} + v{DC} = v{AC}. Но у нас v{CD}, а не v{DC}. Значит, v{c} + v{a} = v{AD} + v{CD}. Это вектор, исходящий из A, конец в C. То есть v{AC}.
• д) -а: Вектор -v{a} противоположен вектору v{a} (v{CD}). Следовательно, -v{a} = v{DC}.

Изображение на рисунке:

Для изображения на рисунке необходимо нарисовать параллелепипед (например, с вершинами A(0,0,0), B(a,0,0), C(a+b, c, 0), D(b, c, 0), A1(0,0,h), B1(a,0,h), C1(a+b, c, h), D1(b, c, h)). Векторы v{a}, v{b}, v{c} нужно будет определить на основе координат вершин. Однако, поскольку v{b} = -v{a}, это означает, что v{BA} = -v{CD}. Это возможно, если A, B, C, D образуют ромб или квадрат, и v{BA} и v{CD} направлены в противоположные стороны. В общем случае параллелепипеда, v{AB} = v{DC}, поэтому v{BA} = -v{AB} = -v{DC}. Так как v{CD} = v{a}, то v{DC} = -v{a}. Тогда v{BA} = -(-v{a}) = v{a}. Значит, v{b} = v{a}.

Предположим, что v{a} и v{b} - это обозначения для направлений ребер, и v{CD} = v{a}, v{BA} = v{b}, v{AD} = v{c}.

В параллелограмме ABCD: v{AB} = v{DC}. Так как v{CD} = v{a}, то v{DC} = -v{a}. Значит, v{AB} = -v{a}.

Вектор v{BA} = -v{AB} = -(-v{a}) = v{a}.

Из условия v{BA} = v{b}, следует, что v{b} = v{a}.

Таким образом, v{a} = v{b} = v{CD} = v{BA}.

Итак, пересчитаем векторы, предполагая v{a} = v{b}:

• а) а - б: v{a} - v{a} = v{0} (нулевой вектор).
• б) а - с: v{a} - v{c}. Это вектор v{CD} - v{AD}. Приводим к общему началу D: v{DC} - v{DA}. По правилу вычитания векторов: v{DC} - v{DA} = v{AC}.
• в) б - а: v{a} - v{a} = v{0} (нулевой вектор).
• г) с - б: v{c} - v{a}. Это вектор v{AD} - v{CD}. Приводим к общему началу D: v{DA} - v{DC}. По правилу вычитания векторов: v{DA} - v{DC} = v{CA}.
• д) -а: Это вектор, противоположный v{a} (v{CD}), то есть v{DC}.

Изображение:

На рисунке параллелепипеда:

• Вектор а - б (равный нулевому вектору) изображается как точка.
• Вектор а - с (v{AC}) - это диагональ нижнего основания ABCD.
• Вектор б - а (равный нулевому вектору) изображается как точка.
• Вектор с - б (v{CA}) - это диагональ нижнего основания ABCD, направленная противоположно AC.
• Вектор -а (v{DC}) - это ребро параллелепипеда, противоположное AB.

Ответ:

• а) 0 (нулевой вектор)
• б) AC
• в) 0 (нулевой вектор)
• г) CA
• д) DC