328 Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что: а) AB + BD = AC + CD; б) AB + BC = DC + AD; в) DC + BD = AC + BA.

Решение:

Для доказательства будем использовать правило сложения векторов по правилу треугольника (сложение векторов по правилу "конец первого - начало второго").

• а) AB + BD = AC + CD
  • Левая часть: AB + BD = AD (по правилу треугольника).
  • Правая часть: AC + CD = AD (по правилу треугольника).
  • Поскольку обе части равны AD, равенство доказано: AD = AD.
• б) AB + BC = DC + AD
  • Левая часть: AB + BC = AC (по правилу треугольника).
  • Правая часть: DC + AD = DC + CA (так как AD = -CA, или AD = DA. Или, если рассматривать DC + AD, то это вектор, начинающийся в D и заканчивающийся в C, затем от D к A. Это не дает простого вектора). Давайте переформулируем DC + AD. Вектор AD равен вектору BC. Вектор DC равен вектору AB. Поэтому DC + AD = AB + BC = AC.
  • Итак, левая часть равна AC, и правая часть равна AC. Равенство доказано: AC = AC.
• в) DC + BD = AC + BA
  • Левая часть: DC + BD = BC (по правилу треугольника).
  • Правая часть: AC + BA = AC - AB = AC + (-AB). Вектор -AB равен вектору BA. Значит, AC + BA = AC + CB (так как BA = -AB, а CB = -BC, поэтому BA = CB, что неверно). Давайте разберем AC + BA. AC + BA = AC + (-AB). Если переставить местами, то BA + AC = BC (по правилу треугольника).
  • Итак, левая часть равна BC, и правая часть равна BC. Равенство доказано: BC = BC.

Ответ: Равенства доказаны путем применения правила сложения векторов.