334. Докажите, что для целых чисел a и b верно, что если \(a^2+b^2\) делится на 3, то a делится на 3 и b делится на 3.

Квадрат целого числа при делении на 3 может иметь остаток только 0 или 1.

Пусть \(a^2+b^2\) делится на 3. Тогда сумма остатков квадратов должна быть равна 0 по модулю 3.

Если один из квадратов имел бы остаток 1, то сумма имела бы остаток 1 или 2, а не 0. Следовательно, оба квадрата делятся на 3:

\(a^2\) делится на 3 и \(b^2\) делится на 3.

Из делимости квадрата целого числа на простое число 3 следует делимость самого числа на 3. Поэтому \(a\) делится на 3 и \(b\) делится на 3.

Что и требовалось доказать.