34.27. Упростите выражение, выбрав рациональный способ преобразований: а) (2x−3)²/(x²−9) · (3x−9)/x² : (8x−12)/(x²+3x) · 2x/(2x²−5x+3); б) ((a+3)/(a²+2a+1) + (a−1)/(a²−2a−3)) · (a²−2a−3)/(a+2) − 1; в) (2/(a²−6a) + 1/(2a+8) + 5/(a²−2a−24)) : (4a+a²)/(2a−12); г) ((4n+1)/(2n²+n−10) − 4/(n²−4)) · (4n²+10n)/(4n+9) + 4/(n+2).

Разложим знаменатели на множители и заменим деление умножением на обратную дробь:

\(\displaystyle \frac{(2x-3)^2}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{3(x-3)}{x^2}\cdot\frac{x(x+3)}{4(2x-3)}\cdot\frac{2x}{(2x-3)(x-1)}=\frac{3}{2(x-1)}.\)

ОДЗ исходного выражения: \(x\ne -3,-?\) Исключаем значения, при которых исходные знаменатели равны нулю или делитель равен нулю: \(x\ne -3, -?\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{3}{2(x-1)}\), при \(x\ne -3,0,1,\frac32,3\).

Разложим знаменатели и сложим дроби в скобках:

\(\displaystyle \frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{a-1}{(a-3)(a+1)}=\frac{(a+3)(a-3)+(a-1)(a+1)}{(a+1)^2(a-3)}=\frac{2(a^2-5)}{(a+1)^2(a-3)}.\)

Тогда

\(\displaystyle \frac{2(a^2-5)}{(a+1)^2(a-3)}\cdot\frac{(a-3)(a+1)}{a+2}-1=\frac{2(a^2-5)-(a+1)(a+2)}{(a+1)(a+2)}=\frac{a^2-3a-12}{(a+1)(a+2)}.\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{a^2-3a-12}{(a+1)(a+2)}\), при \(a\ne -2,-1,3\).

Сначала сложим дроби в скобках, приведя их к общему знаменателю:

\(\displaystyle \frac{2}{a(a-6)}+\frac{1}{2(a+4)}+\frac{5}{(a-6)(a+4)}=\frac{4(a+4)+a(a-6)+10a}{2a(a-6)(a+4)}=\frac{a+4}{2a(a-6)}.\)

Деление заменяем умножением на обратную дробь:

\(\displaystyle \frac{a+4}{2a(a-6)}\cdot\frac{2(a-6)}{a(a+4)}=\frac1{a^2}.\)

Ответ: \(\displaystyle \frac1{a^2}\), при \(a\ne -4,0,6\).

Разложим знаменатели и упростим разность:

\(\displaystyle \frac{4n+1}{(2n+5)(n-2)}-\frac4{(n-2)(n+2)}=\frac{(4n+1)(n+2)-4(2n+5)}{(n-2)(n+2)(2n+5)}=\frac{4n+9}{(n+2)(2n+5)}.\)

Подставим результат:

\(\displaystyle \frac{4n+9}{(n+2)(2n+5)}\cdot\frac{2n(2n+5)}{4n+9}+\frac4{n+2}=\frac{2n+4}{n+2}=2.\)

Ответ: 2, при \(n\ne -\frac52,-\frac94,-2,2\).