34. С помощью диаграмм Эйлера — Венна докажите или опровергните равенство: а) $\overline{A\setminus B}=B\setminus A$; б) $\overline A\setminus B=\overline A\cup B$; в) $\overline A\setminus B=\overline{A\cup B}$; г) $A\setminus\overline B=A\cup B$; д) $A\setminus\overline B=A\cap B$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 34. С помощью диаграмм Эйлера — Венна докажите или опровергните равенство: а) $\overline{A\setminus B}=B\setminus A$; б)…$ Фото задания

34. С помощью диаграмм Эйлера — Венна докажите или опровергните равенство: а) $\overline{A\setminus B}=B\setminus A$; б) $\overline A\setminus B=\overline A\cup B$; в) $\overline A\setminus B=\overline{A\cup B}$; г) $A\setminus\overline B=A\cup B$; д) $A\setminus\overline B=A\cap B$.

Accepted Answer

Равенство множеств проверяем по принадлежности произвольного элемента.

а) Неверно. Элемент из $\overline{A\setminus B}$ может принадлежать и $A\cap B$, и множеству вне $A\cup B$; это не обязательно элемент $B\setminus A$. Например, при универсальном множестве $U=\{1\}$ и $A=B=\varnothing$: левая часть равна $U$, правая — $\varnothing$.
б) Неверно. Возьмём $A=U$, $B=\varnothing$. Левая часть равна $\varnothing$, правая — $U$.
в) Верно. По закону де Моргана: $\overline A\setminus B=\overline A\cap\overline B=\overline{A\cup B}$.
г) Неверно. По определению $A\setminus\overline B=A\cap B$, а это не всегда равно $A\cup B$. Например, при непересекающихся непустых $A$ и $B$ пересечение пусто, а объединение — нет.
д) Верно. $A\setminus\overline B=A\cap\overline{\overline B}=A\cap B$.

Ответ: а) неверно; б) неверно; в) верно; г) неверно; д) верно.