347. Решить систему уравнений: 1) {lg x − lg y = 7; lg x + lg y = 5}; 2) {log₂ x + ½ log₂(1/y) = 4; xy = 2}.

Складываем уравнения, чтобы найти \(\lg x\): \(2\lg x=12\), поэтому \(\lg x=6\) и \(x=10^6\).

Вычитаем первое уравнение из второго: \(2\lg y=-2\), поэтому \(\lg y=-1\) и \(y=10^{-1}=0.1\).

Ответ: \((x;y)=(10^6;0.1)\).

Из условия \(xy=2\) получаем \(y=2/x\). Тогда \(1/y=x/2\).

Обозначим \(a=\log_2 x\). Подставляем в первое уравнение: \(a+\frac12\log_2(x/2)=4\). Так как \(\log_2(x/2)=a-1\), имеем \(a+\frac12(a-1)=4\), откуда \(a=3\).

Следовательно, \(x=2^3=8\), а \(y=2/8=1/4\). Оба значения удовлетворяют условиям области определения.

Ответ: \((x;y)=(8;1/4)\).