350. Решить уравнения: 1) lg (6 · 5ˣ − 25 · 20ˣ) − lg 25 = x; 2) lg (2ˣ + x + 4) = x − x lg 5.

Область определения требует \(6\cdot5^x-25\cdot20^x>0\). Объединяем логарифмы и переходим к показательной форме: \(\lg\left(\frac{6\cdot5^x-25\cdot20^x}{25}\right)=x\), значит, \(6\cdot5^x-25\cdot20^x=25\cdot10^x\).

Делим на положительное число \(5^x\) и обозначаем \(t=2^x>0\). Получаем \(6-25\cdot4^x=25\cdot2^x\), то есть \(25t^2+25t-6=0\).

Корни квадратного уравнения: \(t=1/5\) и \(t=-6/5\). Так как \(t>0\), остаётся \(2^x=1/5\), откуда \(x=\log_2(1/5)=-\log_2 5\). При этом исходный аргумент логарифма равен \(25\cdot10^x>0\), поэтому корень допустим.

Ответ: \(x=\log_2(1/5)\).

Преобразуем правую часть: \(x-x\lg5=x(1-\lg5)=x\lg2=\lg(2^x)\). Уравнение принимает вид \(\lg(2^x+x+4)=\lg(2^x)\).

Приравниваем положительные аргументы: \(2^x+x+4=2^x\), откуда \(x=-4\). Проверка: аргумент первого логарифма равен \(2^{-4}>0\), поэтому значение допустимо.

Ответ: \(x=-4\).