Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 348. Решить уравнения: 1) log₂ x − 2 logₓ 2 = −1; 2) log₂ x + logₓ 2 = 2,5; 3) log₃ x + 2 logₓ 3 = 3; 4) log₃ x − 6 logₓ 3…Фото задания

Ответ:

В каждом уравнении используем взаимно обратные логарифмы: если \(t=\log_a x\), то \(\log_x a=1/t\). При этом основания логарифмов должны быть положительными и не равными 1.

  1. Пусть \(t=\log_2 x\), где \(t\ne0\). Тогда \(t-2/t=-1\), откуда \(t^2+t-2=0\), то есть \((t-1)(t+2)=0\). Значит, \(t=1\) или \(t=-2\), поэтому \(x=2\) или \(x=1/4\).

    Ответ: \(2;\ 1/4\).

  2. Пусть \(t=\log_2 x\), где \(t\ne0\). Тогда \(t+1/t=2.5\), откуда \(2t^2-5t+2=0\). Корни: \(t=2\) и \(t=1/2\). Следовательно, \(x=4\) или \(x=\sqrt2\).

    Ответ: \(4;\ \sqrt2\).

  3. Пусть \(t=\log_3 x\), где \(t\ne0\). Тогда \(t+2/t=3\), откуда \(t^2-3t+2=0\). Получаем \(t=1\) или \(t=2\), значит, \(x=3\) или \(x=9\).

    Ответ: \(3;\ 9\).

  4. Пусть \(t=\log_3 x\), где \(t\ne0\). Тогда \(t-6/t=1\), откуда \(t^2-t-6=0\). Получаем \(t=3\) или \(t=-2\), поэтому \(x=27\) или \(x=1/9\).

    Ответ: \(27;\ 1/9\).