354. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y = x³ + 1, y = 0, x = 0, x = 2; б) y = 1 + 2 sin x, y = 0, x = 0, x = π/2; в) y = 4 − x², y = 0; г) y = 1 + 1/2 cos x, y = 0, x = −π/2, x = π/2.

1. а) Функция x³ + 1 положительна на \([0;2]\), поэтому
   \(S=\int_0^2(x^3+1)\,dx=\left.\left(\frac{x^4}{4}+x\right)\right|_0^2=4+2=6.\)
2. б) Функция 1 + 2 sin x положительна на данном отрезке:
   \(S=\int_0^{\pi/2}(1+2\sin x)\,dx=\left.(x-2\cos x)\right|_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}+2.\)
3. в) Парабола пересекает ось Ox при \(x=-2\) и \(x=2\), а между этими точками расположена выше оси:
   \(S=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\left.(4x-\frac{x^3}{3})\right|_{-2}^{2}=\frac{32}{3}.\)
4. г) На указанном отрезке функция положительна:
   \(S=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1+\frac{1}{2}\cos x)\,dx=\left.(x+\frac{1}{2}\sin x)\right|_{-\pi/2}^{\pi/2}=\pi+1.\)

Ответ: а) 6; б) \(\frac{\pi}{2}+2\); в) \(\frac{32}{3}\); г) \(\pi+1\).