356. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y = 3 sin(x + 3π/4), y = 0, x = −3π/4, x = 3π/4; б) y = 2 cos 2x, y = 0, x = −π/4, x = π/4; в) y = sin x − 1/2, y = 0, x = π/6, x = 5π/6; г) y = 1 − cos x, y = 0, x = −π/2, x = π/2.

1. а) Сделаем замену \(t=x+\frac{3\pi}{4}\). Тогда пределы переходят в 0 и \(\frac{3\pi}{2}\); синус меняет знак при \(t=\pi\), поэтому площади двух частей складываем:
   \(S=3\left(\int_0^\pi\sin t\,dt+\left|\int_\pi^{3\pi/2}\sin t\,dt\right|\right)=3(2+1)=9.\)
2. б) На данном промежутке \(\cos 2x\geq 0\):
   \(S=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}2\cos 2x\,dx=\left.\sin 2x\right|_{-\pi/4}^{\pi/4}=1.\)
3. в) На отрезке \([\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}]\) функция неотрицательна:
   \(S=\int_{\pi/6}^{5\pi/6}(\sin x-\frac{1}{2})\,dx=\left.(-\cos x-\frac{x}{2})\right|_{\pi/6}^{5\pi/6}=\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}.\)
4. г) Функция 1 − cos x неотрицательна на заданном промежутке:
   \(S=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1-\cos x)\,dx=\left.(x-\sin x)\right|_{-\pi/2}^{\pi/2}=\pi-2.\)

Ответ: а) 9; б) 1; в) \(\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}\); г) \(\pi-2\).