36.25. При каких целых значениях n значение дроби является целым числом: 1) 2n^2 + 7n - 4 / n + 3 2) 4n^2 - 11n + 23 / n - 2

Решение:

1) \( \frac{2n^2 + 7n - 4}{n + 3} \)

1. Преобразуем числитель, чтобы выделить \( n + 3 \): \( 2n^2 + 7n - 4 = 2n(n+3) + n - 4 = 2n(n+3) + (n+3) - 7 = (2n+1)(n+3) - 7 \).
2. Тогда \( \frac{2n^2 + 7n - 4}{n + 3} = \frac{(2n+1)(n+3) - 7}{n + 3} = 2n + 1 - \frac{7}{n + 3} \).
3. Чтобы значение дроби было целым, \( \frac{7}{n + 3} \) должно быть целым числом. Это возможно, если \( n + 3 \) является делителем числа 7.
4. Делители числа 7: \( \pm 1, \pm 7 \).
5. \( n + 3 = 1 \rightarrow n = -2 \)
6. \( n + 3 = -1 \rightarrow n = -4 \)
7. \( n + 3 = 7 \rightarrow n = 4 \)
8. \( n + 3 = -7 \rightarrow n = -10 \)

2) \( \frac{4n^2 - 11n + 23}{n - 2} \)

1. Преобразуем числитель, чтобы выделить \( n - 2 \): \( 4n^2 - 11n + 23 = 4n(n-2) - 3n + 23 = 4n(n-2) - 3(n-2) + 17 = (4n-3)(n-2) + 17 \).
2. Тогда \( \frac{4n^2 - 11n + 23}{n - 2} = \frac{(4n-3)(n-2) + 17}{n - 2} = 4n - 3 + \frac{17}{n - 2} \).
3. Чтобы значение дроби было целым, \( \frac{17}{n - 2} \) должно быть целым числом. Это возможно, если \( n - 2 \) является делителем числа 17.
4. Делители числа 17: \( \pm 1, \pm 17 \).
5. \( n - 2 = 1 \rightarrow n = 3 \)
6. \( n - 2 = -1 \rightarrow n = 1 \)
7. \( n - 2 = 17 \rightarrow n = 19 \)
8. \( n - 2 = -17 \rightarrow n = -15 \)

Ответ: 1) \( n \) может быть -2, -4, 4, -10. 2) \( n \) может быть 3, 1, 19, -15.