36.29. Докажите, что выражение (а + 4)(а - 8) + 4(а^2 + 9) при всех значениях а принимает неотрицательные значения.

Решение:

Раскроем скобки и приведём подобные члены в выражении:

\[ (a + 4)(a - 8) + 4(a^2 + 9) \]

Раскроем первую скобку:

\[ (a \cdot a + a \cdot (-8) + 4 \cdot a + 4 \cdot (-8)) + 4a^2 + 36 \]

\[ (a^2 - 8a + 4a - 32) + 4a^2 + 36 \]

\[ a^2 - 4a - 32 + 4a^2 + 36 \]

Сгруппируем подобные члены:

\[ (a^2 + 4a^2) + (-4a) + (-32 + 36) \]

\[ 5a^2 - 4a + 4 \]

Теперь докажем, что это квадратное трёхчлен всегда неотрицателен. Для этого найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Здесь \( a = 5, b = -4, c = 4 \).

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 16 - 80 = -64 \]

Так как дискриминант \( D < 0 \), а коэффициент при \( a^2 \) (равный 5) положителен, то парабола \( y = 5a^2 - 4a + 4 \) направлена ветвями вверх и не пересекает ось \( Ox \). Это означает, что значение трёхчлена всегда положительно.

Следовательно, выражение \( (a + 4)(a - 8) + 4(a^2 + 9) \) при всех значениях \( a \) принимает положительные значения, а значит, и неотрицательные.

Ответ: Выражение \( 5a^2 - 4a + 4 \) всегда принимает положительные значения, так как его дискриминант отрицателен, а старший коэффициент положителен.