364. Какую массу балласта надо сбросить с равномерно опускающегося аэростата, чтобы он начал равномерно подниматься с той же по модулю скоростью? Масса аэростата с балластом m₁ = 1.2·10³ кг. Модуль подъемной силы аэростата Fп = 8 кН. Модуль силы сопротивления воздуха считать одинаковым при спуске и при подъеме аэростата.

Дано:

\( m_1 = 1.2 \cdot 10^3 \) кг

\( F_п = 8 \cdot 10^3 \) Н

\( v_1 = v_2 \)

Решение:

Пусть \( m_a \) — масса аэростата без балласта, \( m_b \) — масса сброшенного балласта.

При спуске аэростата с балластом: \( m_1 = m_a + m_b \).

Сила тяжести: \( F_{т1} = (m_a + m_b)g \).

Сила сопротивления воздуха: \( F_{c1} \).

Подъемная сила: \( F_п \).

Условие равномерного спуска: \( F_{т1} = F_п - F_{c1} \) (при спуске сила сопротивления направлена вверх).

\( (m_a + m_b)g = F_п - F_{c1} \) (1)

При равномерном подъеме аэростата без балласта: \( m_a \).

Сила тяжести: \( F_{т2} = m_a g \).

Сила сопротивления воздуха: \( F_{c2} \). По условию \( F_{c1} = F_{c2} = F_c \).

Подъемная сила: \( F_п \).

Условие равномерного подъема: \( F_п = F_{т2} + F_c \).

\( F_п = m_a g + F_c \) (2)

Из (2) найдем \( F_c \): \( F_c = F_п - m_a g \).

Подставим \( F_c \) в (1):

\( (m_a + m_b)g = F_п - (F_п - m_a g) \)

\( (m_a + m_b)g = m_a g \)

\( m_a g + m_b g = m_a g \)

\( m_b g = 0 \)

Это означает, что при равномерном движении (с одинаковой скоростью) в обе стороны, при условии, что сила сопротивления воздуха равна нулю, сброс балласта не меняет условия равномерного движения. Но в задаче есть сила сопротивления воздуха, которая не равна нулю.

Рассмотрим равномерный спуск: \( F_{т1} = F_п - F_{c} \) (сила сопротивления направлена против движения, т.е. вверх).

\( (m_a + m_b)g = F_п - F_c \) (1)

Рассмотрим равномерный подъём: \( F_{т2} + F_c = F_п \) (сила сопротивления направлена против движения, т.е. вниз).

\( m_a g + F_c = F_п \) (2)

Из (2) выразим \( F_c \): \( F_c = F_п - m_a g \).

Подставим \( F_c \) в (1):

\( (m_a + m_b)g = F_п - (F_п - m_a g) \)

\( (m_a + m_b)g = F_п - F_п + m_a g \)

\( (m_a + m_b)g = m_a g \)

\( m_a g + m_b g = m_a g \)

\( m_b g = 0 \)

Это противоречит наличию силы сопротивления воздуха. Переформулируем условия.

1. Спуск с балластом \( m_1 = m_a + m_b \) равномерно. Силы: \( F_{т1} = m_1 g \) (вниз), \( F_п \) (вверх), \( F_c \) (вверх, т.к. скорость вниз).

\( m_1 g = F_п + F_c \) (1)

2. Подъем без балласта \( m_a \) равномерно. Силы: \( F_{т2} = m_a g \) (вниз), \( F_п \) (вверх), \( F_c \) (вниз, т.к. скорость вверх).

\( F_п = m_a g + F_c \) (2)

Из (2) выразим \( F_c \): \( F_c = F_п - m_a g \).

Подставим \( F_c \) в (1):

\( m_1 g = F_п + (F_п - m_a g) \)

\( m_1 g = 2 F_п - m_a g \)

\( (m_1 + m_a) g = 2 F_п \)

\( m_1 + m_a = \frac{2 F_п}{g} \)

\( m_a = \frac{2 F_п}{g} - m_1 \)

Нам нужно найти массу сбрасываемого балласта \( m_b \).

\( m_b = m_1 - m_a \)

\( m_b = m_1 - (\frac{2 F_п}{g} - m_1) \)

\( m_b = 2 m_1 - \frac{2 F_п}{g} \)

Подставим значения: \( m_1 = 1.2 \cdot 10^3 \) кг, \( F_п = 8 \cdot 10^3 \) Н, \( g \approx 10 \) м/с².

\( m_a = \frac{2 \cdot 8 \cdot 10^3}{10} - 1.2 \cdot 10^3 = 1.6 \cdot 10^3 - 1.2 \cdot 10^3 = 0.4 \cdot 10^3 = 400 \) кг.

\( m_b = m_1 - m_a = 1.2 \cdot 10^3 - 400 = 1200 - 400 = 800 \) кг.

Ответ: 800 кг.