366 Докажите, что для разностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Решение:

Утверждение о том, что для разностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают, неверно.

Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника. Он находится внутри треугольника.

Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Его положение зависит от типа треугольника:

• В остроугольном — внутри.
• В прямоугольном — на середине гипотенузы.
• В тупоугольном — вне треугольника.

Центры этих окружностей совпадают только для равностороннего треугольника.

Ответ: Утверждение неверно. Центры совпадают только у равностороннего треугольника.