37.33. а) $\dfrac{a-b}{a^{\frac12}-b^{\frac12}}-\dfrac{a^{\frac32}-b^{\frac32}}{a-b}$; б) $\dfrac{\sqrt x}{x^{\frac12}+y^{\frac12}}+\dfrac{\sqrt y}{x^{\frac12}-y^{\frac12}}$. Упростить выражения.

Question

Вопрос: $Фото задания: 37.33. а) $\dfrac{a-b}{a^{\frac12}-b^{\frac12}}-\dfrac{a^{\frac32}-b^{\frac32}}{a-b}$; б) \(\dfrac{\sqrt…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Введём обозначения $u=\sqrt a$, $v=\sqrt b$. Тогда

\[\frac{a-b}{\sqrt a-\sqrt b}=\frac{u^2-v^2}{u-v}=u+v.\]

Кроме того,

\[\frac{a^{\frac32}-b^{\frac32}}{a-b}=\frac{u^3-v^3}{u^2-v^2}=\frac{u^2+uv+v^2}{u+v}.\]

Следовательно,

\[u+v-\frac{u^2+uv+v^2}{u+v}=\frac{uv}{u+v}.\]

Возвращаясь к исходным переменным, получаем:

\[\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt a+\sqrt b}.\]

б) Обозначим $p=\sqrt x$, $q=\sqrt y$. Тогда

\[\frac{p}{p+q}+\frac{q}{p-q}=\frac{p(p-q)+q(p+q)}{p^2-q^2}=\frac{2pq+q^2-p^2}{p^2-q^2}.\]

Подставим обратно $p=\sqrt x$, $q=\sqrt y$:

\[\frac{2\sqrt{xy}+y-x}{x-y}.\]

Ответ: а) $\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt a+\sqrt b}$; б) $\dfrac{2\sqrt{xy}+y-x}{x-y}$.

37.33. а) \(\dfrac{a-b}{a^{\frac12}-b^{\frac12}}-\dfrac{a^{\frac32}-b^{\frac32}}{a-b}\); б) \(\dfrac{\sqrt x}{x^{\frac12}+y^{\frac12}}+\dfrac{\sqrt y}{x^{\frac12}-y^{\frac12}}\). Упростить выражения.