373. Точка M — середина отрезка AB, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром O. Найдите: а) OM, если R = 50 см, AB = 40 см; б) OM, если R = 15 мм, AB = 18 мм; в) AB, если R = 10 дм, OM = 60 см; г) AM, если R = a, OM = b.

Решение:

Поскольку M — середина отрезка AB, и концы отрезка A и B лежат на сфере с центром O, то OA = OB = R. Треугольник AOB является равнобедренным. OM является медианой, проведённой к основанию AB. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой, поэтому OM ⊥ AB.

В прямоугольном треугольнике OMA, по теореме Пифагора:

\( OA^2 = OM^2 + AM^2 \)

Так как M — середина AB, то \( AM = \frac{1}{2} AB \).

Следовательно, \( R^2 = OM^2 + (\frac{1}{2} AB)^2 \)

а) OM, если R = 50 см, AB = 40 см.

\( AM = \frac{1}{2} \cdot 40 \text{ см} = 20 \text{ см} \).

\[ 50^2 = OM^2 + 20^2 \]

\[ 2500 = OM^2 + 400 \]

\[ OM^2 = 2500 - 400 = 2100 \]

\[ OM = \sqrt{2100} = \sqrt{100 \cdot 21} = 10 \sqrt{21} \text{ см} \]

б) OM, если R = 15 мм, AB = 18 мм.

\( AM = \frac{1}{2} \cdot 18 \text{ мм} = 9 \text{ мм} \).

\[ 15^2 = OM^2 + 9^2 \]

\[ 225 = OM^2 + 81 \]

\[ OM^2 = 225 - 81 = 144 \]

\[ OM = \sqrt{144} = 12 \text{ мм} \]

в) AB, если R = 10 дм, OM = 60 см.

Переведём все величины в сантиметры: \( R = 10 \text{ дм} = 100 \text{ см} \).

\[ 100^2 = 60^2 + (\frac{1}{2} AB)^2 \]

\[ 10000 = 3600 + (\frac{1}{2} AB)^2 \]

\[ (\frac{1}{2} AB)^2 = 10000 - 3600 = 6400 \]

\[ \frac{1}{2} AB = \sqrt{6400} = 80 \text{ см} \]

\[ AB = 2 \cdot 80 \text{ см} = 160 \text{ см} \]

г) AM, если R = a, OM = b.

\[ a^2 = b^2 + AM^2 \]

\[ AM^2 = a^2 - b^2 \]

\[ AM = \sqrt{a^2 - b^2} \]

Ответ: а) \( 10 \sqrt{21} \) см; б) 12 мм; в) 160 см; г) \( \sqrt{a^2 - b^2} \).