377. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см.

Решение:

Диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, является диаметром этой окружности. В данном случае, окружность, в которой лежат вершины прямоугольника, является окружностью сечения сферы плоскостью прямоугольника.

Следовательно, диагональ прямоугольника равна диаметру окружности сечения. Радиус окружности сечения \( r \) равен половине диагонали:

\[ r = \frac{16 \text{ см}}{2} = 8 \text{ см} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы (R), расстоянием от центра сферы до плоскости прямоугольника (d) и радиусом окружности сечения (r). Гипотенузой является радиус сферы.

\( R^2 = d^2 + r^2 \)

По условию \( R = 10 \) см, и мы нашли \( r = 8 \) см.

\[ 10^2 = d^2 + 8^2 \]

\[ 100 = d^2 + 64 \]

\[ d^2 = 100 - 64 = 36 \]

\[ d = \sqrt{36} = 6 \text{ см} \]

Ответ: 6 см.