374 Случайная величина X имеет геометрическое распределение, причём P(X ≤ 2) = 0,75. Вычислите EX.

Решение:

Для геометрического распределения вероятность того, что первое испытание с успехом произойдет при k-м испытании, равна \( P(X=k) = (1-p)^{k-1}p \), где \( p \) — вероятность успеха в одном испытании.

Вероятность того, что первое испытание с успехом произойдет не позже k-го испытания, равна \( P(X \le k) = 1 - (1-p)^k \).

По условию \( P(X \le 2) = 0.75 \). Подставим k = 2:

\[ 1 - (1-p)^2 = 0.75 \]

\[ (1-p)^2 = 1 - 0.75 \]

\[ (1-p)^2 = 0.25 \]

Извлекая квадратный корень из обеих частей:

\[ 1-p = \pm 0.5 \]

Так как \( p \) — вероятность, то \( 0 \le p \le 1 \), следовательно \( 0 \le 1-p \le 1 \). Поэтому подходит только положительное значение:

\[ 1-p = 0.5 \]

\[ p = 1 - 0.5 = 0.5 \]

Математическое ожидание геометрического распределения равно \( E(X) = \frac{1}{p} \).

\[ E(X) = \frac{1}{0.5} = 2 \]

Ответ: 2.