384. Через середину M стороны AB треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне BC. Эта прямая пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что AN = NC.

Проведём через точку C прямую, параллельную AB, и обозначим через D её пересечение с прямой MN.

Так как \(MN\parallel BC\), а \(CD\parallel AB\), четырёхугольник BCDM является параллелограммом. Поэтому \(DM=BC\), а \(CD=BM\).

По условию M — середина стороны AB, значит, \(AM=MB\). Следовательно, \(AM=CD\).

Рассмотрим треугольники \(AMN\) и \(CDN\). Имеем:

• \(AM=CD\);
• \(\angle AMN=\angle CDN\), так как \(AM\parallel CD\), а \(MN\) и \(DN\) — одна и та же прямая;
• \(\angle ANM=\angle CND\), как вертикальные углы.

Следовательно, треугольники \(AMN\) и \(CDN\) равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому \(AN=CN\).

Ответ: AN = NC.