389. Лежат ли точки A₁, B₁, C₁ на одной прямой, если они симметричны точкам A, B, C относительно некоторой прямой и известно, что: а) AB = 2 дм, AC = 10 дм, BC = 80 см; б) AB = 1,1 см, B₁C₁ = 5 см, CA = 6 см?

Решение:

Симметричное отображение плоскости сохраняет расстояния между точками. Это означает, что если точки A, B, C лежат на одной прямой, то и их симметричные образы A₁, B₁, C₁ будут лежать на одной прямой.

Чтобы проверить, лежат ли точки A, B, C на одной прямой, нужно проверить выполнение равенства треугольника (для трёх точек, лежащих на одной прямой, сумма длин двух меньших отрезков равна длине большего отрезка).

а) AB = 2 дм, AC = 10 дм, BC = 80 см

Переведём все длины в одну единицу измерения, например, в сантиметры:

AB = 2 дм = 20 см

AC = 10 дм = 100 см

BC = 80 см

Проверим условие:

1. AB + BC = 20 см + 80 см = 100 см. Это равно AC (100 см).

Поскольку \( AB + BC = AC \), точки A, B, C лежат на одной прямой, причём точка B лежит между A и C.

Так как точки A, B, C лежат на одной прямой, то и их симметричные образы A₁, B₁, C₁ будут лежать на одной прямой.

б) AB = 1,1 см, B₁C₁ = 5 см, CA = 6 см

Здесь даны длины отрезков AB, B₁C₁, CA. Так как точки A₁, B₁, C₁ симметричны точкам A, B, C, то:

AB = A₁B₁ = 1,1 см

CA = A₁C₁ = 6 см

B₁C₁ = BC = 5 см

Теперь проверим, лежат ли точки A, B, C на одной прямой, используя длины AB, BC, AC:

AB = 1,1 см

BC = 5 см

AC = 6 см

Проверим условие:

1. AB + BC = 1,1 см + 5 см = 6,1 см. Это не равно AC (6 см).

2. AB + AC = 1,1 см + 6 см = 7,1 см. Это не равно BC (5 см).

3. BC + AC = 5 см + 6 см = 11 см. Это не равно AB (1,1 см).

Поскольку сумма длин двух меньших отрезков не равна длине большего отрезка, точки A, B, C не лежат на одной прямой. Они образуют треугольник.

Если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то и их симметричные образы A₁, B₁, C₁ не будут лежать на одной прямой. Они также будут образовывать треугольник.

Ответ: а) Да, лежат. б) Нет, не лежат.